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不变子流形和非线性自治系统的模态

归档日期:08-04       文本归类:非流形      文章编辑:爱尚语录

  维普资讯 应 用数学和力学 , 1 第 9卷 第 7 (98年 7 ) 期 19 月 应 1数 学和力学编委 会缩 1 ] 重 庆 盘 版 社 n 版 不 变 子 流 形 和 非 线 性 自治 系 统 的 模 态 赵 国景 魂 建 国。 07 /-  ̄ ( 至 选 推 荐 9 年 2 1 陈 】5 玎 月 7日收 到 ) 摘 要 本文就弱非线性 自治系统 ,引人 丁不变流形理 论 的儿¨推 述 , 用稳 定 流形定理La ̄m 应 yp , m 子中心流彤定理 以及 中心漉形定理 ,给出了非线性 模志 的定 义 , 存在条件 以技模 态帕轨道 特性 采用 丁近似的缎数屉开方珐确定模奄 子流形及模 态运动 绐 出的搏倒 是刘本 文方 法的验 证和解 释 关 词 键 中图 分 类 号 婪 019 8 不 流 自 变形 子 I §1 I .弓 言 j 工 计 算 中 常见 到 系统 的线性 模 态为 基矢 量 去分析 非线 性 系统 ( 如 gd ̄i 法 ) 例 ,e n方 'k . 由于 缺乏根据 , 其计 算 结果 难免 令人 生疑 这使 得人 们对 研究 非线 性 模态 产 生 兴趣 .但是 , 由 于非 线性 系统 固有 的复杂性 , 得非 线性模 态 的研 究存 在 着 困难 对 于 非线 性 动 力 系统 的模 使 态定 义和 汁算 问题 , 直 是力 学 上 未 能很 好 懈 决 , 一 而令 众 多 学 者 关 注 的焦 点 之 一 . R sn e 。eb, , g 在六 十年代 初 将保 守 的非线 性 多 自由度 自治 系统 的 正规模 态 定 义为 : 有 的 质量 以同 … 用 蚺 所 井在 同一瞬 时通 过平 衡位置 的 同步运 动“J .开创 了非线 性模 态研究 的先河 . 此后三 十年 不 少 学者 对菲 线性 模 态问 题进行 了研 究 .我 国学 者在八 十4 f 采 用 R sn c ct  ̄ oe br g的定 义 , 非线 对 性 系 统 的特征 值 问题进 行 r研究 _ J 6 .到 _九十年 代 ,hw和 Pr r 『 Sa i e 引A 1 不 变流 形 的概 念 + e 以儿 何观 点 给出 了非 线性模 态 的定义 , 展 了非线性 模 态 的研究方 法 .他们 的定 义壹 下 : 扩 ¨ 非线 性 自治 系统 的正 规模态 是 一种 发生在 系统相 空 问二 维 不变 流形 上 的运 动 , 它通 过 系 统 的 稳定 平衡 点 , 在 此点 切 于线性 化 系统 舶特征 平面 .J eul Lm l e 给 出 _ 范式 理 论 并 e q e 和 a a u.  ̄ q 则 『 用 表达 的非 线性 模怨J . 本 文根 据稳 定 流形 定 理 , yp nv 中心 流形 定 理 及 中心 流 形 定 理 l La uo 子 8 , 流形 可 分 以 挫的 观点 , 论述 非线 性 正规模 态 的定 义 、 在条 件 以及在 不变 流形上 模态 振动 的轨 道 特征 .特 存 别是 将 一类 非线 性模态 明确 地定 义在 一维 或二 维 于 流形 上 , 并论 证 了 它 们 的存 在 条 件. 这 一 定义适用于保守的和非保守的非线性 自 系统 .并采用了[ ] 治 3建议 的级数展开方法近 似确定 模 态 了流形 和模 态运 动方程 , 求解 这些 方程 可 以确定 模 态 振 子在 流形 上 的 运动 轨 道 ,文 后给 ① 中 国矿 业 大 学 北 京研 究 生 部 , 京 10g 北 003 @ 柯北农业大学城建学 院 , 河北保定 0 10 70 1 维普资讯 62 4 赵 国 景 魏 建 国 出两个 算 例 , 对本 文 的定 义和 方法进 行 了验 证和解 释 § . 线 性 系统 的模 态 2 非 所谓 模 态 , 线性 系统 来说 , 对 是将 原 系统 解耦 得 到 一 系 列 的非耦 合一 阶或 二 阶方 程 , 每一 个方 程表 示在 一个 一 维或 二维不 变子 空 间 n 上 的运 动 . 这些 子 空 问 即 为模 态 空 间 , 对应 其 的 方 程即 为模 态方程 ( 时假 定 系统 没有 重特 征值 , =12… ; 此 ,, n= r cr c +2 ;, 分别 为 系统 的 实特 征值 与 复特 征对 的个 数l . 当 系统存 在重特 征 值 时 , 1 ) 对应 于重 特 征 值 的模 态 方 程 一般 不能 解耦 , 在下 面 的讨论 中不 再考虑 存在 重特 征 值 的情 况 . 对 于任 意非 线 性 系统 , 果 能 故 如 象线 性 系统那 样 , 离出一 系列 解耦 的各 自独立 的一维或 二维 的运 动方 程 , 分 而其 对应 的流 形具 有 不 变性 , 此不 变 流形就 是非 线性动 力 系统 的非 线性 模 态 . 然 而 , 于 任意 非 线 性 动 力 系 则 对 统 , 寻 找这 样 的流形 并非 易事 . 下 面我们 仅 限于讨 论 弱非线 性 自治 系统 在其 孤立 的平 衡点 要 邻 近 的性 态 . 对 于一般 的实非线 性 动力 系统 , 其运动 方 程为 : t = f) ( ( ∈ R ,( r )∈ , ≥ 1 ) ( .) 2 1 不失 一般 性 , 假定 = 0是矢 量场 ( .) 2 1 的平衡 点 , 存在 坐标 的线 性变换 可将 此 系统 化为 : 则 = = ,()× “ , ∈ ”一 毋 z , ) + ) , × : } 一 A x ̄F( , x yz , GY ( x , , Y RR 兰 : R " Q 。 : C H( ) z xY +n +n + 一= n J 其中 , .) ( 1的线性化矩阵 D ( ) 0 2 f x l: 被分解为 A, c 它们分别具有 n , 一 n 个纯虚的 , B和 , 0n , + 实部 为 正 的或 负 的特 征值 . 设 m = / ,r 一 r)2 /+:( + + / ,一 r 分 2 /一=( 一 一/ 及 Y Y . r . n 一r )2 r 和 + 别 为矩 阵 B和 c的实 特征值 的个 数 . 一般 来说 ( .)的三 组方 程是不 可分 的 , 相之 间不 能 22 互 解耦 . 下 面将依 据 列 出 的三 个定 理 , 论其 可分 的条 件 . 讨 定 理 1 ( 定或 不稳 定 流形定 理) 稳 设 n o=0 , 0 此 时( .) , 22 的后 两个方 程 给出双 曲系统 . 在 平衡 点邻 近 , 量场 存 在两 矢 个 c 不 变 流形 , 别称 为相 空 间的稳定 流 形和 不稳定 流 形 , 们 分别 与 其 对 应 的线 性 化 系统 r 分 它 的不 变 子 空间拓 扑 同胚 , 并在 平衡 点与之 相 切l, 1 它们可 分 为 m一和 m+个二 维 不 变 子流 1I . 3 形 以及 r 和 r 一 +个一 维不 变 子流形 . 与矩 阵 B或 C相 对应 , 这些 子 流形 分别 为稳 定 的或 不稳 定 的 . 系统 限制在 这些 子 流形 上的相 流分 别是 收缩流 或扩 展流 . 定 理 2 (yp nv 中心 流形 定理 ) La uo 子 考 虑 由方 程 ( .) 22 绐定 的实 c 类 H mt a in系统 .在平衡 点 邻 近 , 矩 阵 d的m个 纯虚 特征 o 设 对为 ± ( =l , , , m)若对 任一 , 程 ( .) 方 22 线性 化矩 阵 的特征 值满 足条 件 山叫 ≠ 整 数 ( 1≤; ; ) k≤ ≠ 类 闭 轨组 成 J . ( .) 23 则 Ha l n系统有 m 个 互 异 的 , rt mo 局部 C 的二维 不变 予 中心流形 , 每一 流 形 由嵌 入单 参 数 定 理 3 根据 中心 流形 定理 【 21 , 虑o= 2方 程( .a 1 3 考 ,] , 22 )的特征对 为 ± l此 时系统 , ( .) 22 存在 一 个二 维 中心流 形 {, , ( y)∈ × ×R’I y: ^( ; ) D ;0 ; )z: h( , ^()= 0 D 0 , ^( )=O ) ( ) 24 维普资讯 不变子 流形 和非线 性 自治系统的模 态 63 4 若 将 Y= ^ ( , 。= ( 代人 (.a , ; )及 ) 22)可得 到该 子 中心 流形 的运动 方程 , 系统 限制在 二维 中 心流形 上 的相流 若是 周期 轨道 , 周期一 般不 再等 于 2 m1而 与系 统的非 线性 部份 有 其 / , 关 , 由 范式理 论 可知 , ( 在保 持定 性不 变 的条件下 , 系统 的非线 性部份 可 以只 保 留到 三 次项 ). 自然 , 们关心 n 我 o≥ 4的情况 , 由范式理 论 可 以证 明 , 当0=4时 , 在1 + 2≠ 0 】 2 ( l+l i , , 为整 数 ) I I 2 ≤41 2 的低 阶非 共振 的情 况下 , 系统 的撮 简形 式 为三次 系统 , 其 中 但 含 有 不 能解耦 的三次 项 ( 采用 极坐标 ) . 3 2 r 2 6 …乏叫一 2 +j 2 ,: = 6+ + 22J l =+ r r 2 … c 2r t s 即(.a的两 个成对 的方 程组之 间不 能解耦 .故在 这种 情况 下 , 般不 存 在 上述 意义 的模 态 . 22) 一 此 时 系统 (、) 22 一般 只有 高于二维 的中心 流形 . 根 据 以上 三个 定 理 , 以给出弱 非线 性 自治 系统 的非线 性模 态定 义及存 在条 件 如下 : 可 定义 若 非线 性 自治 系统 具有 孤立 的平衡 点 , 系统 的非 线 性模 态 运 动 是在 系统 相 空 间 则 上 的一维 或二 维不 变 流形 上 的运 动 .这些 流形 分 别与 其对应 的线 性化 系统 的不 变子 空 间在平 衡 点 相 切 , 以是 中心 的 , 定 的或不 稳定 的; 中心 不变 子 流 形对 应 的 模 态运 动 可 以是周 期 可 稳 与 的或 非周 期 的 , 与稳定 子 流形 或不 稳定 子流形 对 应 的模 态 运 动则 为收 缩 流或 扩 张 流 .这 些 而 一 维 或二 维不 变子 流形 的存在 条 件 可 由以上三 个定理 给 出 . 以上定 义为我 们 指 明 了存 在非线 性模 态 的一 大类 非 线 性 系统 .它 是从 几 何 观 点 出 发 . 以 流形 的 可分性 作 为依 据 , 明确 了非线 性模 态存在 条件 以及模 态 运动 的特 性 .至 于上 述 象 ( .) 25 一 类 高维 中心流形 一 般是 不可 分的 , 如果 也将它 作为 模态 , 以 叫做 高维 中心模 态 .这个 问题 可 尚需 进一 步研 究 , 在本 文 中不 再予 以讨论 . §3 模 态 子 流 形 和 模 态运 动 的计 算 . 非线性系统的正规模态流形 , 以及流形上 的模态运动方程 , 即使它属 于上述定义的类 型, 却 常难 以得 到精 确 解 . 为计 算模 态流 形 和模 态振 动 , 采用 基 于 Ty r 数 展 开 的近 似解 法 现 al 级 o 来 确 定 它们 .考虑 相 空间上 力学 系统 的运 动方 程如下 { t = Y, l = ^( Y ( = 12 … , , j ,, ) ( ) 3 1 此 处 , = ( X, , ) x ,2… 代表 广义 坐标 , = ( ,2… , ) 表广义 速度 ., = ( , , L lY , h 代 ^ … , ) 代表 广 义力 . 在 许多 工程 实际 问题 中 , 线性 化 系统 只有 负 实部 和纯 虚部 特征 值 , 上 故 述二维模 态运动一定存在 . 按照[ ]设模 态坐标的( )将所有 的位移和速度表示为该模 3, , , 态 坐标 ( 移 . 位 速度 对 )的 函数 . 并可 任选 一对广 义坐 标 , 如 l: , : , 即 l= 1 uj= , (, l= ( , Hj= ( .) 3 2 以 及可 以得 到其余 2 n一2个模 态方 程如 下 : = 置( , , = ( ( .) 34 由此 可 知模 态 坐标 的运动 方程 n= , :^( ( , , , ( ) ( ) … , ( , ) , u)… , , , , , ) J- ( .) J 34 表示 了一 个单 自由度 系统 的运 动 ,  ̄ 求解 此方 程 可 以得 到模 态运 动解 , 一 般 难 以得 但 到精 确 的解析 表达 式 .对 于弱 非线性 系 统 , 我们 可将 置 ( )和 ( ) 开 为 Ly r 数 “, , 展 al 级 o ( 只写 出到三 次项 ) : 维普资讯 o4 4 赵 国 景 瓤 逃 闰 I (f . . )= 1 + 2 + n.: “+ “ . M 1 + JI “ { + Ⅱ^. +  ̄Ti ¨ t U21 ;+ ng 2 . + 3 r Z9 ̄ ; t j ( )= ^ . + 6 + 3 + M, 1 Ⅱ 1 u u F+ 6 5 , ( .) 3 5 + 6 . + 厶 " + b + b 6 ’ 7M L sM 一 L 9 1 - ’ 1 将 ( ) ̄ (I巾 的后 2l 35 4A 3 ) r 一2个 方程 , 比较 同类 项 系数 , 并 可得 到关 于 n 和 的代 数 方程 组 , 此 代数 方程 组 , 解 可得 到 , 进 而得 到关于 cI . ( 6, f) , )的 近似表 达式 § . 4 算 : 线‘ I 振动 系统 如 图所示 ( 1 圈 ) 例 算例 1 设 圈 l中 C 1= 。 3=0, 2= 则运 动方 程为 蠢1 yl, , l= ^( , , 订 l 2 )=一( + 2 + 2 ! ( +嚣 ) +g . } l ) g l z 2 2 r 2 = 2, !: ( , …, 2 1 Y 2 Y )=一( + ^) 2 2 ] 3+ 此 系统 为 ImtL I io  ̄ In系 统 , 以算 出它 的 线 性 可 化矩 阵有 两对 纯 虚 特 征 缒 , 由前 面 的分 析 可知 系 统 具确 两 个 于中 心 流形 , 形上 的解 为 闭轨 .令 流 & J= = 3= 1 0, . gl= 0 5, 2= g g 3= 0, 按 可 圈 1 计算模 型 前进 方法 解 出两 个模 态振 于方程 为 : 模 态 l 【 l .3 u : +H +033 一0 2 “}=0 . I 5 模 态 2 “ +3 2 92 一 57 2 i= : 2 “ +0 13  ̄ 007 l j 对应 两 个模 态 的流形 及模 态振动 的解 由图 2给 出 算例 2 当 图 l 的 c ,2 不 全为零 时 , 中 【c , 3 系统 为非 线性 非保 守 系统 , 其运 动方 程 为 : t{ Yt , !:^( , , ,2 【 2 y )=一 ( + ) 2 一( 【 2¨ l 2【+ c+ ) +c 2 g +g){ 2i 2 一( l 2 +g ! y2 y ( , , ,2 2 一( +矗) +cy 2= 1 2Y)= 【 ! 2 21一(2 C)2 1 c + 3Y +g 一(2 3 i 2} g +g) 可 以算得 此 方程 刊应 的线性 化特 征值 实部 为 负 , 据前述 理论 , 根 其对 应 的非 线性模 态流 形 为两 个二 维稳 定 r流 形 , 态振 子在 流形 上 的解 为收缩 流.现 设I=O 二 模 ,2= C =0 3【= , 3= j0 g , 1= g 3= 0 g . 2= 0 5 可 得 模 态 振 子 方 程 为 : ., 模态 I n = I , j , = 口 = 一297l 071 ̄ —113u 一 90 ,l 【 66 ~ 57l . 9 { 013uv 0  ̄ +O04 “ { . 1v . 2 1 +o0 5{ 0 0 模惑 2 “ 2 , 2= , 0 一100 u一018v —002“ 一o17u 2= . 9 1 432 . 1; . 5 ̄2 3 8 维普资讯 不变子流形和非线性 自治系统 的模态 +006 u口 +024v . 9 2i . 9; 8 3 其 对 应 的二维 不变 流形 及模 态振 子 的解 由图 3 出 给 【)模志 1 a 曲面 () 卷 1 b模 曲面 () 志 2 c模 曲面 ( ) 态 2 雠 面 d横 i 。 、 0 /蠹 一2 . 5 - 、 0, 5 0/ .I 5 - 0. 5 0. 5 f / ()模态 【 动孰 线撮 动孰 线 (。,b ()() ()() c d为模态 12 , 的不变非线 性模态表面 ,e .f为模态振动轨线 圈) () () §5 .结 ■ 论 1 当系统 为保 守的 H mio . a l n系统 时 . 非线性 系 统所 对应 的线 性 化 系统 具 有 纯 虚 部特 征 t 如 值 时 , 模 态 子流 形为二 维 中心型 , 其 模态 振 子的相 图 为闭轨 . 2 当 系统 为 非保 守 系统 、 . 且系 统所 对 应 的线 性 化 系 统 具 有 负实 部 特 征 值 时 其 模 态 子 流 形 为稳 定子 流形 . 其模 态 振子 解的相 图 为收缩 流 . . 3 在 计算 中我们发 现 系统 的刚 度 系数 和 阻尼 系数 c的变化 会 对 非 线性 模 态 的性 态 产生 - 维普资讯 赵 国 景 魏 建 国 影响 , 出现 分岔 现象 .关 于这 部份 内容 的探 索 , 将另 文研 究 . ()模 态 I 动轨线掘动 轨线 (a ,b ,e ,d 为模态 12的不变非线 ( )( ) () () 、 性模态表 面 ,e .f ( ) () 为模态振动 轨续图) 参 1 R M .R s 0 d 考 文 献 ,Ad we 机  ̄ s .On n ni e r vb a o s o y t i wi l I e r e f自 o l a iF  ̄ n fs sel n  ̄ t n al d g e s o h y Me, / , 16 ) l5 4 . v  ̄nc 9(96 ,5 —22 s 2 R H. ad e mer oma m d ̄i w e eo  ̄ eo ss is J urgo p i Me u R n N a a n r l o e nt od gefx d myt| , a r f e el  ̄ fA pi  ̄l c m- l is 3 ( )(9 1 ,6 . v , 82 17 )5 1 3 S W a d C.P e r ,No  ̄a  ̄ d S f rn ml la  ̄mt r y tms J u n l n ir e n ll O e o c h e r v l o y s se , o r a S u g n o r la d V /  ̄n,14 1 19 ) 一 J4 a mt r o 6 ()(93 , 2 4 S W .Sa a dC i r , o  ̄ l dsobm 0 o n nierciiu  ̄ytls orm o . h w n Pe e N n a mo ef ir infr o l a o tlossse ,J u r /f r v n |l n S udad a n n ( )(94 ,1-37 3 19 )39 I4 . 、 5 L.J z q e a d C.H.I r Ⅲ1 ,A ay eeul n an e n l ̄ o no l e rd n  ̄ c l s J b t en mllf r t e r f ni a y a n a b 』 y h o a o m h o y, J u a S u d.q/  ̄/n,19 3 19) 49  ̄5 g  ̄t / o n J V/ o d n 4 ()(9  ̄,2 -49 维普资讯 不变子流形和非线 性 自治系统的模态 67 4 6 刘链生 、 霍全忠 、 黄克 累 , 非线 性振 动 系统主振 型 的一种求 解方 法及 稳定判 定 , 应用 数学 和力学 , 8 ( )(9 7 ,0 —5 2 6 18 ) 5 5 l . 7 刘链生 、 黄克累 , 一种用 于非线性振动系统的模态分析方法 , 力学 学报 ,0 1 18 ) 2 ()(98 8 陈予恕 ,非线性动力 学中的现代分析方法》科 学出版社 (92 《 , 19 ) 9 J at 眦 C r,d 矿 Ma i lhoy, pigr el e Y r ,(9 1 n o T er S r e- r gN w ok 18 ) fd n V a 渤m , l A ely,O teL a l2v s b e t ma iod a n ̄/o M ahe t dAn lss㈣ d 0 1K l e n h ‘y p no 1 CA l 1 q ̄ nf l,J u t j l ma i c e ay i l ( )(9 7 , 2 48 8 3 16 )4 —l 7 7 l M . fshadS m .D{ 1 tre i n S 出 砌 z q ain , nmi7s s m n i a Agbc, cd rl E u t s Dy a o1 t sa dL r r te r A a e C o y e m  ̄ f Pes Ne ok(94 rs , wY r 17 ) l V A n l,G a e ̄ a Me o i h hoy矿 O dn r iee a E u t 2 I ro d e m t' / t d nte Ter c h ria yDf rmit q a ̄ lg Ne Y r 1 8 j a , wo k( 9 8 1 J G c e e ra d P 3 . u k  ̄ i n .H l s me o me , Vc r et F o , I  ̄ e- e l ,N w Y r 1 8 j Sr g r r g e o k( 9 6 d V a 如 , 肿聊 渤 S s m . i r ai r , y t s a  ̄ Bf c t a e r d u o s。 . rae V r 印 hgr e- - I va i nt Sub- an f d nd o s of n ra M iol s a M de No l a t n m o s S s e ni ne r Au o o u y t ms Z a uj g h oG oi n ( e iaGv u t col ( ia£ B i n c ̄ aeSh o,Y n m j n o Miiga d T n oy. f nn n  ̄ o g B嘞协 10 8 , R hn l 00 3 P. C ia) W e i n u i ag o J ( ol eo ra ̄ n C tg e fU bra dm m 加龇m , g i ̄trt nv ri C Ar o u a i st o U e y fHee ,  ̄ dr b ̄ tm i3, a He e 7 0 1 P. . ia) b i 10 , C ̄n 0 Ab t a t sr c A d i fi no t eh io f hemo e f i d s o an n i e r ̄F D IO ly t r o l |& I t O D l s s e awa e eo e D S sd v l p d.T l x s ele c n i i e iti o d — e c lo s a d o b s’n t r f o e r v n b sn t e g o ty t e r fi v r tr m ̄ od h t i n n rR au eo m d s ae e y u ig h e me r h oy o n a l a ml l st a k u e s b ema i l h o e ,c  ̄ e mi d t l 2 n o dt e r m f el rma i l h o e m d Sl c a e t nf dt e r m a  ̄ e t rma i l l e r n T eTa - o t q n f df o e l h o l y lts e o sa目 n wa sd ire tp r a htes b ma i lso tem o e su e n od r oa p c h u - nf d f h o o d smab a l2elo do th1 i — r f t nfh i so temo so ha o d nter m ̄odT oem pe ls w x n l s  ̄ e teln t  ̄ teapi t r vi odnos i m hp la o ̄ c s K wo d iw in r s n  ̄- tma i l I  ̄ a n od.i e,n tie ̄s se f K ofn a ytm i

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