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黎曼几何学是谁提出的几何学理论

归档日期:07-09       文本归类:非流形      文章编辑:爱尚语录

  黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说,通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中,黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念,提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ,空间中的点可用n个实数(x1,……,xn)作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点(x1,x2,……xn)与(x1+dx1,……xn+dxn)之间的距离,用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 (gij)是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形,就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构,并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2,即第一基本形式,而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性,从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚,创立了黎曼几何学,为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如:定义度量(a是常数),则当a=0时是普通的欧几里得几何,当a0时 ,就是椭圆几何 ,而当a0时为双曲几何。

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