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流形的介绍

归档日期:07-02       文本归类:非流形      文章编辑:爱尚语录

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  一个流形的一个坐标映射,坐标图, 或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射,使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形,该简单空间是某个欧氏空间Rn而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持,也就是可逆的在两个方向都连续的映射。

  图对于计算极其重要,因为它使得计算可以在简单空间进行,再把结果传回流形。

  例如极坐标,是一个R2除了负x轴和原点之外的图。上节提到的映射χtop是圆圈的一个图。 多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的,因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。

  包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集,极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用,这个对象非常抽象,通常不直接使用(例如,在计算中)。 图集也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容,该结构就可以转到流形上。

  这是微分流形的标准定义方式。如果图集的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn 自然的微分结构(也就是说,如果它们是微分同胚),该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。

  通常,流形的结构依赖于图集,但有时不同的图集给出相同的结构。这样的图集称为相容的。

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