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流形的范畴

归档日期:07-02       文本归类:非流形      文章编辑:爱尚语录

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  最容易定义的流形是拓扑流形,它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲,一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域,它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。

  通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上,以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形,因为它不是豪斯朵夫的。

  流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下,拓扑空间有一个拓扑不变量,也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。 主条目:微分流形

  如果流形上的局部坐标图之间的坐标变换是光滑的,就可以在该流形上讨论方向,切空间,和可微函数。特别是,可以在微分流形上应用“微积分”。这时我们说流形上被赋予了一个微分结构。带有微分结构的流形叫做微分流形。 如果流形上的任意两个局部坐标之间的坐标变换是“分段线性函数”,那么我们称这个流形上被赋予了一个分段线性结构。被赋予分段线性结构的拓扑流形称为分段线性流形。

  如果流形上有微分结构,那么微分结构自然的诱导了一个分段线性结构。所以微分流形一定是分段线性流形。

  存在分段线性结构是比存在单纯剖分略强的条件;分段线性流形的范畴是介于拓扑流形范畴和微分流形范畴之间的一个范畴。

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