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流形的圆周

归档日期:07-02       文本归类:非流形      文章编辑:爱尚语录

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  圆周是除欧氏空间外最简单的流形。让我们考虑二维平面内一个半径为1,圆心在原点的圆(单位圆)。若x和y是平面上的欧式坐标,那么单位圆的方程就是x^2 + y^2 = 1。 单位圆的任意一点附近的一小段都像一条线。而线是一维的图形,我们只要一个坐标就可以标记这一小段上的一个点。例如单位圆在x轴上方的半圆上的任何一点都可以用x坐标确定。所以,存在双射Xtop,它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(1, 1):

  这样的一个函数称为一个局部坐标卡(local coordinate chart)。类似的,单位圆的下半圆,左半圆,右半圆上也有相应的坐标卡。这四个半圆可以覆盖整个单位圆,我们称对应的四个局部坐标卡组成这个单位圆的一个坐标图集(atlas)。 注意上部和右部的坐标卡的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己,首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:

  从微积分的观点来看,圆的变换函数T只是开区间之间的函数,所以我们知道它意味着T是可微的。事实上,T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以,这个图集把圆圈变成可微流形。 上面这四个坐标卡和它们之间的坐标变换说明单位圆是一个流形。但在单位圆上还可以有其他的坐标卡和坐标图集。考虑坐标卡

  这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(1,0)的线的斜率;t是镜像对称,其中心点为(+1,0)。从s到(x,y)的逆映射为

  我们很容易确认x^2+y^2= 1对于所有斜率值s成立。这两个坐标卡提供了圆周的又一个图集,其变换函数为

  注意每个坐标卡都缺了一点,对于s是(1,0),对于t是(+1,0),所以每个坐标卡不能独自覆盖整个单位圆。利用拓扑学的工具,我们可以证明没有单个的坐标卡可以覆盖整个单位圆;在这个简单的例子里,我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。 流形不必是连通的(整个只有一片),所以两个不相交的圆周也是一个拓扑流形。流形不必是闭的,所以不带两个端点的线段也是流形。流形也不必有限,所以抛物线这样的图形也是一个拓扑流形。

  但是,我们排除了向两个相切的圆(它们共享一点并形成8字形)的例子;切点的附近任意小的一部分都不同胚于欧式空间的任何一个开集

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