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数学方面的能力该怎么培养 知乎

归档日期:06-11       文本归类:非流形      文章编辑:爱尚语录

  为什么需要学习数学,这是你首先需要想清楚的问题。数学学科子分类多、每一本数学书中都有许多定理和结论,需要花大量时间研究。而人的时间是宝贵的、有限的,所以你需要大体有一个目标和计划,合理安排时间。

  1.1 你的目标是精通数学、钻研数学,以数学谋生,你可能立志掌握代数几何,或者想精通前沿物理。那么你需要打下坚实的现代代数、几何以及分析基础,你需要准备大量时间和精力,拥有坚定不移的决心。(要求:精通全部三级高等数学)

  1.2 你的目标是能够熟练运用高等数学,解决问题,掌握探索新应用领域的武器,你可能立志进入计算机视觉领域、经济学领域或数据挖掘领域。那么,你需要打下坚实的矩阵论、微积分以及概率统计基础。(要求:精通第一级高等数学)

  1.3 你的目标是想了解数学的乐趣,把学数学作为人生一大业余爱好。那么,你需要打下坚实的线性代数、数学分析、拓扑学以及概率统计基础,对你来说,体会学数学的乐趣是一个更重要的目标。(精通第一级高等数学,在第二级高等数学中畅游,尝试接触第三级高等数学)

  1. 凡是没有用的东西,或者虽然有用,但是你用不到的东西,学得快忘得也快。不信你回忆一下你大一或者初一的基础课,你还记的清楚吗?

  2. 凡是你不感兴趣(或者感觉不到乐趣)的东西,你很难坚持完成它。很多人都有这样的经历,一本书,前三章看的很仔细,后面就囫囵吞枣,越看越快,反正既没意思也没用。

  3. 小学数学是中学数学的基础,中学数学是高中数学的基础,高中数学是大学数学的基础(你可以以此类推)。

  因此,无论你的目标是什么,搞数学、用数学、还是体会数学的乐趣、满足自己从少年时就有的梦想。学有所乐、学有所用,永远是维持你动力不衰退的两个最主要的因素。

  线性代数(矩阵论),数学分析,近世代数(群环域),分别囊括了了几何、分析和代数的基础理论。别忘了还有概率论(建立在分析之上的一门基础学科)。

  有了这些基础,接着是基础的基础、抽象和推广:测度论(积分的基础,当然也是概率论的基础),拓扑学(有关集合、空间、几何的一门极度重要的基础学科),泛函分析(线性代数的推广),复变函数(分析的推广),常微分方程与偏微分方程(分析的推广),数理统计和随机过程(概率论的推广),微分几何(分析和几何的结合)。

  然后是一些小清新和应用学科:数值分析(算法),密码学,图形学,信息论,时间序列,图论等等。

  再往上是研究生课题,往往是代数、几何和分析要一起上:微分流形、代数几何、随机动力学等等。

  这个科技树的三级,和小学、初中、高中数学很相似,一层学不精通,下一层看天书。

  千万千万千万不要狂做题。玩过战略对抗游戏的同学都知道,低级兵造几个就行了,要攒钱出高级兵才能在后期取胜,低级兵不仅攻击力低,还没有好玩的魔法,它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。上面列举了那么多课程,你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集,你就30岁了,后面的二级课程还没开始学呢。因此,做一些课后习题,帮助你复习、思考、维持大脑运转就行,要不断地向后学。如果完全学不懂了,返回来做习题帮自己理清头绪。

  数学的精髓不是做题的数量,而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论,不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它,模仿它,琐碎的知识就串成了一条项链,你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的,你要读好几本书,了解一些应用才能体会。举两个例子:

  微积分的主线有这么几条:认识到微观和宏观是有联系的,微分用来刻画事物如何变化,它把细节放大给你看,而积分用来刻画事物的整体性质;微分和积分有时是描述一个现象的不同方式,这一点你在数学分析书中可能不容易发现,但是如果学点物理,就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式;积分变换能够建立不同空间之间的的联系,建立空间和空间边界的联系,这就是Stokes定理:,这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

  矩阵是空间中线性变换的抽象,线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子;SVD分解不仅在应用学科用有极为广泛的亮相,也是你理解矩阵的有力工具;矩阵是有限维空间上的线性算子,对空间的理解不仅能让你重新认识矩阵,更为泛函分析的学习开了个好头。

  很多时候,只读一本书,可能由于作者在某处思维跳跃了一下,以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍,就是你同时拿到好几本国际知名教材,相互对比着看,或者看完一本然后再看同一主题的另一本书,已经熟悉的内容跳过去,如果看不懂了,停下来思考或者做做习题,还是不懂则往后退一退,从能看懂的部分向前推进,当你看的多了,就会发现一个东西出现在很多地方,对它的理解就加深了。举两个例子:

  外微分这个东西,国内有的数学分析书里可能不介绍,我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里,觉得这是个方便巧妙的工具;后来读卓里奇的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》,都讲了这个东西,可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它,可能要首先理解矩阵,明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数,它是一种线性形式。最后,当你读微分流形后,将发现外微分是获得流形上的Stokes定理的工具。

  点集拓扑学这个东西,搞应用用不到。但是但凡你想往深处学,这一门学科就必须要掌握,因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形,没有这些概念你将寸步难行。首先你要读芒克里斯的旷世名著《拓扑学》,接着在读其他外国人写的书时,或多或少都会接触一些相关概念,你的理解就加深了,比如读Rudin的《泛函分析》,开始就是介绍线性拓扑空间,前面的知识你就能用上了。

  看到一个东西在很多地方用,你对它的理解就加深了,慢慢也就能体会到这个东西的精妙,最后你会发现所有的基础学科相互交织,又在后续应用中相互帮助,切实体会到它们真的很基础,很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

  没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材,读一读,开阔眼界,为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业(计算机视觉)和爱好说说一些优秀的专业书籍:

  学了微积分,就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》,了解力、热、光、时空的奥秘;学了偏微分方程,就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》,了解电的奥秘;学了矩阵论,可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》,了解成像的奥秘,编程进行图像序列的三维重建;学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派,这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域,成就了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》,读了它们,我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服;读了《Ray Tracing from the Ground Up》,自己写了一个光线追踪器渲染真实场景,它的基础就是一点点微积分和矩阵......

  高等数学的应用实在是太多了,如果你喜欢编程,自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学......到处都有大量模型供你玩耍,而且只需要一点点高等数学。在这些领域,你可能能发现比数学书更有趣,也更容易找到工作的目标。

  数学家写的书有时是比较死板的,但是总有一些教材,它们的作者有强烈的欲望想向你展示这个东西其实很有趣,这个东西完全不是你想的那个样子等等,他们成功了;还有些作者,他们喜欢把一个东西在不同领域的应用,和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是国内出版的一套《图灵数学统计学丛书》,这一套书实在是太棒了,比如《线性代数应该这样学》《复分析:可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》,个人认为都是学数学必读的经典教材,非常非常有趣。

  如果只有一句话概括如何培养数学能力,那么就是这一句:多读书,读好书。因此这一步我想单独拿出来多说两句。

  想必大家都十分精通并能熟练应用小学数学。想读懂代数几何,或者退一步,想读懂信息论基础,你就要挑几本好的基础教材,最好是外国人写的,像掌握小学数学那样掌握它。不要只看一本,找三本不同作者的书,对比着看,逐行逐字看。有的地方肯定看不懂,记下来,说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。

  卓里奇《数学分析(两册)》(读英文版吧,不难。有知友说这个还是不太简单,那你可以先看个国内教材,然后回过头来再看这个)

  5.3. 阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应用、文笔最易懂的教材和书籍

  最后想说,数学是一个无底洞,会消耗掉你宝贵的青春。一无所知的你可能励志搞懂现代数学,但是多会半途却步,同时剩下的时间又不够精通另一门科学。而且即使你精通纯数学,没有几篇好文章也并不容易找工作。

  我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界,纯数学和应用数学学科都看看,找到感兴趣、应用广泛、工作好找(来钱)的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实,编程能力也强的人就很有前途。

  《小学数学教学大纲》指出:培养学生的计算能力,要重视基本的口算训练,口算既是笔算、估算和简便运算的基础,也是计算能力的重要组成部分。只有口算能力强,才能加快笔算速度,提高计算的正确率。因此,每位同学都要打好口算基础,加强口算训练,提高口算能力。

  首先,掌握方法。如:运用数的组成计算10以内的加减法;用凑十法,用乘法口诀直接求积、求商;根据乘法分配律进行口算;在四则混合运算中,教给学生一些运算技能,不断提高口算能力。

  其次,设定目标堂堂练。每节数学课,教师视教学内容和学生实际,选择适当的时间,安排3---5分钟的口算练习,学生每人准备一本口算本,这样长期进行,持之以恒,能收到良好的效果。

  最后,形式变换多种练。学生方面如:自算,自己找口算题,在规定的时间内,看能算对几题;互算,同学互相出题算,或一个同学出几个同学算,比比,看看,来提高口算能力;反复算,通过反复的练习,口算能力自然会提高。 教师方面如:视算训练、听算训练、抢答口算、口算游戏、等等。

  “兴趣是最好的老师”,兴趣是学习的内动力,是学习的基础。在计算教学中,首先要激发学生的计算兴趣,让学生乐于学、乐于做,从而达到算得准、快的目的。就数学本身,特别是数学计算教学而言,好象只是枯燥乏味的数字“开会”,只是在玩一系列的数字游戏。对于小学生,比起好玩的游戏,卡通漫画和好看的电视来说,数学真可以算得上是乏味到家。因此,我在教学中渗入游戏。

  如:在“比较小数大小”的教学中,我以游戏《机灵的小数点》出示,让学生玩乐中获取知识,巩固知识,知道小数点的重要性,从而激发了学生的学习兴趣。平时,我在教学中,积极准备数学竞赛,以激发学生的兴趣,如接力比赛,抢答,评智慧小星等。

  另外,在数学计算教学中,我还适时地列举中外数学家的典型事例,或以学生喜闻乐见的小故事来增添课堂气氛,吸引学生注意力,激发学生对数学学习的爱好和兴趣,使学生集中精神进行计算,提高课堂上的学习效果。学生从乐中得益,从乐中长智,不知不觉就迷上了数学。

  计算与人们生活息息相关。在小学,计算更是贯穿于数学教学的全过程。《新课程标准》也提出了关于“使学生能够正确地进行整数、小数、分数的四则计算,对于其中一些基本的计算,要达到一定的熟练程度,并逐步做到计算方法合理、灵活”的教学要求。

  纵观全国小学数学试题,涉及计算内容的题目在一份试卷中均占绝大部分。从这个意义上说,加强计算教学,有效地提高计算的正确率是小学数学教学的一个非常重要方面。

  但实际计算中,学生普遍有轻视的态度,一些计算题并不是不会做,而是由于注意力不够集中、抄错题、运算粗心、不进行验算造成的。

  知道合伙人教育行家采纳数:14032获赞数:17806高三数学专家,省优秀教育工作者,渭南市三三人才工程专家。向TA提问展开全部数学能力一般是指抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、数学建模能力、数学运算能力、数据处理与数值计算能力、数学语言与符号表达能力等。

  所谓数学能力是指由计算能力、初步的逻辑思维能力、空间观念与思维的深刻性、敏捷性、灵活性、广阔性、创造性等所组成的开放性动态系统结构。

  数学运算能力的要求大致可分为三个层次:①计算的准确性(基本要求)②计算的合理、简捷、迅速(较高要求)③计算的技巧性、灵活性(高标准要求)。我们在教学中思想上一定要充分认识提高运算能力的重要性,把运算技能上升到能力的层次上,把运算的技巧与发展思维融合在一起。为了培养学生正确迅速的运算能力,可以采用下面的一些做法。

  1、加强基础知识教学。数学理论是数学运算的基础,只有正确理解有关的数学概念,切实掌握有关的数学定理、公式、法则,才能为运算指明方向,开拓思路,提供依据,才有可能取得正确迅速的运算结果。

  2、加强基本技能训练。能力总是存在与人的具体活动之中,离开了具体活动就无所谓能力。所以要培养运算能力,必须加强基本技能训练。具体的做法是:(a)在教学中加强口算与速算;(b)熟记一些常用的数据、结论;(c)养成验算的习惯,向学生介绍一些最基本的验算方法,如还原法、代值法、估算法等。(d)讲究训练的层次,做到先模仿练习再变式练习;先单一练习再综合练习。从简到繁,从易到难,循序渐进。

  3、掌握运算的通则、通法。培养运算能力必须紧密联系培养分析和解决实际问题的能力。因此,在有关数值的计算和数式的变换等实际问题的教学中,要突出具体的运算特点,围绕具体的运算方法、法则和思想方法,来培养分析问题和解决问题的能力。

  数学中的逻辑思维能力是根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析、抽象概括、推理论证的能力。它是基本数学能力之一,也是数学素质的核心。高考改革内容强调:“继续发挥数学等基础学科的作用,强调基础性、通用性、工具性,将考查重点放在思考和推理上。”因此加强逻辑思维能力的培养,这也是是数学教师的一大根本任务。

  1、结合基础知识教学培养逻辑思维能力。知识和能力总是相辅相成的,在向学生传授数学知识的过程中可以培养逻辑思维能力。只要把知识的教学作为培养能力的载体,在传授知识的过程中渗透或介绍逻辑思维的规律和方法,就可以收到良好的效果。

  2、加强思维基本功训练,培养逻辑思维能力。在教学中让学生在思维中学会思维,必须有目的、有计划地训练学生逻辑思维的基本功。具体做好以下几个方面:(1)做关于概念的思维训练。(2)做关于判断的思维训练。(3)做关于推理的思维训练。(4)引导学生总结解题规律,积累解题经验。(5)做关于辩证法基本观点的训练。(6)通过反例剖析,纠正逻辑性错误。

  一个人的数学素质的优势不仅在于其掌握数学理论的多少,也不仅在于其能解决多少数学难题,更重要的是看他能否运用数学思想去解决现实生活中的实际问题。高中学生性格活泼,既有一定的社会生活经验又有较强的好奇心和求知欲望,他们喜欢学习有生动现实基础及将来从事“四化”建设所必需的数学知识与才能,教师在教学过程中要有意识地理论联系实际,结合生活和社会实践,提倡做中学,通过问题学,着重从学生今后实际生活的需要出发,使学生能学到真正有用的东西,能适应变化发展的世界,引导他们关心社会和关心未来,让学生学会解决问题。

  让问题进入课堂,以问题解决来培养学生实际应用能力。高中数学教学大纲明确指出“在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力,发展学生的创新意识和应用意识,提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力,进一步发展学生的数学实践能力。”首先,让教师进行应用数学方面的培训,开展应用数学的研究;其次,积极开展社会实践,深入实行调查,进行数学建模活动。在高考中出现的实际应用题,都是经过人工改造,抽象概括过的问题,这对数学建模活动有所不同,数学建模中必须自己提出问题,并进行抽象概括,比解应用题更复杂,更富创造性。在活动中要以学生为主体,充分发动学生,让他们动手动眼,获得丰富第一手材料,布置学生撰写建模小论文,激发他们参与建模热情,培养他们创新能力和学习兴趣

  中学数学中的空间想象要是指,学生对客观事物的空间形式进行观察、分析抽象思考和创新的能力。几何教学入门难,历来是数学教学中的一大问题。因为初学几何时,学生必须经历认识上的一个转折——由代数向几何的转变。这个转变在两方面给初学者造成困难:一是研究对象由数转变为形,学生要由对符号信息的操作转变为对图形信息的操作;二是思维方法由以计算为主转变为以推理论证为主,学生要由对事物间的数量化分析转向对其空间形式的定性分析上来。

  培养空间观念,一般有以下四个方面的要求:一是能够由形状简单的实物想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状;二是能够由较复杂的空间图形分解出简单的、基本的平面图形;三是能够在基本的图形中找出基本元素及其关系;四是能够根据条件作出或画出图形。

  数学是比较抽象的学科,数学要想学好,要求的是逻辑思维能力和逻辑推理能力,具体表现就是,数学公式的应用与证明题的推理过程。

  在进行阅读例题题的时候是需要用到推理能力的,推理能力差的人,数学的学习肯定是会比较吃力的!

  它们都涉猎逻辑思维能力。数学好逻辑思维能力强。推理好,逻辑思维也一定高。

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