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微分流形一定是拓扑流形吗?

归档日期:06-06       文本归类:非流形      文章编辑:爱尚语录

  拓扑流形是一个局部欧氏空间,还是一个 Hausdorff 空间。还有些人要求拓扑流形是仿紧的或/和第二可数的。那我的提问是不是有点局限性了,不是在所有的情况下成立,在微分拓扑学里,我的提问正确吗?作为一个局部欧氏空间,n 维拓扑流形的每一点都有一个邻域 U 同胚于 R^n (也可以是 R^n 的某个开子集,两种说法等价)。这个同胚 x 就是一个局部坐标系。也有些书中把 (U, x) 称为一个局部坐标系。两种说法没有本质区别。拓扑流形(乃至局部欧氏空间)的局部坐标系是天然存在的。如果 (U, x) 和 (V, y) 都是局部坐标系而且 U 和 V 的交集不空,则两个坐标系所诱导的坐标变换是连续的。

  微分流形必须在这个基础上添加一个微分结构。所谓的微分结构,就是在拓扑流形的所有坐标系中筛选一部分出来,使之彼此能够 C^k 阶相容,而微分结构就是这些局部坐标系的集合。此外,微分结构还要极大,就是说,不可能向微分结构中添加新的局部坐标系使之与微分结构中已有的局部坐标系 C^k 相容。当 k 等于无穷大时,称这个微分结构是光滑的。

  拓扑流形加上一个 C^k 类的微分结构就构成了一个 C^k 类的微分流形。所以,微分流形就是在拓扑流形的基础上通过人工选择(即指定一个微分结构)的方式偏爱其中的某些局部坐标系、忽略其余局部坐标系而成的。微分流形的承担集一定是一个拓扑流形,微分流形的局部坐标系也来自拓扑流形本来天然存在的局部坐标系。两者之间的关系大概如此。

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