我要投搞

标签云

收藏小站

爱尚经典语录、名言、句子、散文、日志、唯美图片

当前位置:财神爷心水论坛 > 非零值 >

复数小波复数小波变换的最大特点就是与普通变换仅具有实部不同

归档日期:07-09       文本归类:非零值      文章编辑:爱尚语录

  复数小波复数小波变换的最大特点就是与普通小波变换仅具有实部不同 复数小波变换同时具有实部和虚部两个部分 而且炸 满足变换关系。因此 是一个解析信号 该信号只在频域的正半轴有非零值。将小波系数投影到离散域上 我们得到。砟 和傅里叶变换一样复数小波变换即可以分析和表示实信号 又可以用来表示复信号。由于复

  复数小波复数小波变换的最大特点就是与普通小波变换仅具有实部不同 复数小波变换同时具有实部和虚部两个部分 而且炸 满足变换关系。因此 是一个解析信号 该信号只在频域的正半轴有非零值。将小波系数投影到离散域上 我们得到。砟 和傅里叶变换一样复数小波变换即可以分析和表示实信号 又可以用来表示复信号。由于复数小波变换具有实部和虚部 其实现结构具有双树结构。小波分解和重构的框图分别如图 复数小波的分解框图图复数小渡的重构框图 复数小波的性质复数小波具有很多不同小波所不具备的性质。首先 复数小波具有相位信息。而且 复数小波是近似平移不变的。一种很有效的反应复数小波变换的近似平移敏感特性的方法是观察一个信号到某个尺度的投影如何随着信号的平移变化。信号到某个尺度的投影使是信号只使用某个尺度的小波系数进行重构。图 和嘞显示了一个阶跃信号 通过离散小波变换和复数小波变换的第级系数重构的信号。通过对这些图进行比较 我们可以发现通过离散小波变换系数够着出来的信号明显的变形 而经过离散复数小波信号重构出的信号形变较小。因此 复数小波变换的平移敏感性较低。这个性质使得复数小波变换更适合用于模式识别等应用。授罄甓 为使用第级离散双树复数小波变换系数进行重构的信号。双树复数小波变换没有小波变换平移敏感性另一个复数小波变换的特点是复数小波具有更好的方向选择性。普通二维离散小波和二维复数小波的波形如图 所示。可以看出 复数小波具有更多的方向 因此拥有更好的方向选择性。这个性质使复数小波更适合表示图像的边缘等方向信息。 典型二维可分复数小波的波形典型 波的波形。可以看出二维可分复数小波具有更多的方向。本章小结本章介绍了小波和复数小波的基本理论 以及经典的小波设计方法 小波设计法。这些基础理论和构造方法是小波在各个领域的广泛应用和更加成熟的小波构造方法的基石。第 章全局最优化设计复数小波的方法 引言复数小波由于具有近似平移不变、相位信息、方向选择等特性 在各种领域都得到了广泛的应用。但是 复数小波变换的滤波器设计远比普通小波变换复杂。我们在这一章中对现有的复数小波的设计方法进行了回顾 并且提出了一种基于全局最优的双线性规划的复数小波设计方法。 复数小波的设计方案回顾文献【 】证明了 为了保证复数小波的两个正交小波基之间满足希尔伯特变换关系 这两个小波的低通滤波器 需要满足等幅度和半采样相位延迟条件 也就是 其中动和皿功分别为复数小波对两个低通滤波器的频域响应。因此 设计离散复数小波问题可以归结为设计两组满足条件 的低通滤波器 。国内外学者近些年来提出了很多设计复数小波低通滤波器的算法。提出了基于 的设计方法【 】。该方法可以设计出近似满足希尔伯特条件的小波对。文献 给出了更成熟的基于的设计算法。 提出了两种有效设计复数小波的算法。其中一种可以构造出在频域 附近满足半采样条件的低通滤波器【 但这种设计方法无法保证在远离 频率范围内的滤波器的响应满足半采样条件。另外一种设计方法可以设计出一个能够近似半采样条件的全通滤波器【 】。虽然这种算法可以设计出近似满足半采样条件的低通滤波器 但是所设计出来的低通滤波器近似半采样条件的质量远没有达到最优【 在文献丁指出 两个长度相差 消失距相差 小波可以形成一个近似的希尔伯特变换对。他也指出了通过对低通滤波器的幅度和相位条件进行联合约束我们可以设计出具有更好的近似质量的希尔伯特小波对。同时 石宏理提出了一种通过对幅度和相位条件进行分别约束的复数小波的设计方法【 。石宏理的设计方法可以设计出近似质量更好的小波 但是要求设计出的两组小波之间的消失距差 这个特性可能对实际应用是不利的。另外 石宏理的设计方法是通过对一个非凸优化问题进行局部优化来实现的 设计出的希尔伯特对的质量会受到初始优化点的选择的影响。近些年来 基于优化的滤波器设计方法已经广泛的应用于设计 滤波器【】印】。这些设计方法通过对小波系数进行优化来设计满足所需要特性的滤波器。文献【 范数来设计出复数小波的滤波器对的方法。但是文献【 】中的方法没有考虑到设计出的小波对的 规则性条件 而文献【 】中的方法采用的两步优化算法是次优的。本文把小波的正则条件和正交条件作为显性的约束。同时 我们使用了分支定界方法 全局优化我们设计中的双线性规划问题。与使用局部最优的非线性优化算法相比 本文的优化算法总能够得到一致的结果。并且 本文的优化算法设计出的滤波器能够更好的近似 对。最后 我们比较了优化坝曲一 范数所设计出的滤波器的性能。发现使用范数设计出的复数小波对 变换对的近似性能最好。 全局最优的设计复数小波的方法 复数小波设计的基本条件设 表示复数小波的滤波器对【也就是 根据我们在上一章中的阐述在文献【 】中说明 一力其中 是一个偶数的多项式满足对于所有的 但是由于在复数小波的设计中我们对 功的相位有一定的要求 本文采用优化的方法来设计复数小波的滤波器系数。在文献【 中说明 复数小波的两组滤波器凰 这样所对应的小波满足变换对条件。 其中‰ 规则性条件而文献【 】中的方法采用的两步优化算法是次优的。本文把小波的正则条件和正交条件作为显性的约束。同时 我们使用了分支定界方法 全局优化我们设计中的双线性规划问题。与使用局部最优的非线性优化算法相比 本文的优化算法总能够得到一致的结果。并且 本文的优化算法设计出的滤波器能够更好的近似 对。最后 我们比较了优化坝曲一 范数所设计出的滤波器的性能。发现使用范数设计出的复数小波对 变换对的近似性能最好。 全局最优的设计复数小波的方法 复数小波设计的基本条件设 表示复数小波的滤波器对【也就是 根据我们在上一章中的阐述在文献【 】中说明 一力其中 是一个偶数的多项式满足对于所有的 但是由于在复数小波的设计中我们对 功的相位有一定的要求 本文采用优化的方法来设计复数小波的滤波器系数。在文献【 中说明 复数小波的两组滤波器凰 这样所对应的小波满足变换对条件。 其中‰ 设计方法文献】已经证明了等幅度响应条件和半采样条件式 不可能同时满足。因此我们只能设计近似的 变换对。本文在固定消失距和设计出滤波器的长度 并且要求设计出的小波满足正交条件和规则条件的前提下 通过最小化近似半采样延迟条件的误差来设计复数小波。根据式 设计出的 均满足完美重构条件。需要注意的是 本文中所使用的目标函数和文献 中目标函数的明显区别为 本文中目标函数加强了低频部分的权重。由于岛 功都是低通滤波器半采样条件在低频范围中的满足对我们的设计更为重要。因此 使用该目标函数设计出的复数小波可以达到更好的性能。在大部分的应用中 为了使复数小波的实部和虚部性质相似 我们要求它们消失距相同。因此 在这里 我们限制所设计复数小波的实部和虚部对应的滤波器具有相同的消失距和长度。不过 由于我们提出的算法是一种普遍适用的方法。我们也可以使用这种设计方法来设计实部和虚部的长度或消失距不同的复数小波。假设复数小波的实部和虚部对应的低通滤器分别为‰和 。他们的消失距均为 根据式 滤波器粕和的长度均为 导出尸功。但是 由于这里设计的两组滤波器之间需要满足半采样条件 我需要直接对以缈 进行优化。首先我们来推导出 如何才能满足完美重构条件。而 的完美重构条件可以通过类似的方法导出。 满足完美重构所需的条件为 动需要具有 的形式。因此我们需要计算出 妨的关系。通过我们知道 为一个胙次的偶多项式。给定偶数腓 。根据二项式定理我们有 其中表示最大的比 小的整数。假设 通过比较式 一…因此需要满足条件 才能符合完美重构条件。然后我们将给出 之间的关系。通过变换 最后我们可以推出 其中可以通过将式 的左边展开得到。代入式 且考虑到绕我们可以得到 焉分析表明矗满足完美重构条件可以表示为式 。其中要满足条件式 表示。和和“之间的关系为式 。为了近似半采样延迟条件 可以写成耳—三一 二’直接对式在整个连续频域上进行最小化比较困难。一个常用方法是通过频域采样对连续频域进行离散化。频域采样是一种采用离散采样点近似连续频域响应的方法 该方法对频域响应函数在固定的频域点一万 进行采样然后用采样点函数值来逼近连续函数值。这样 最小化可以近似为对误差函数以神在这些采样点上的值所构成向量的模最小化。明显采样点越多 近似的精度越高。但是 采样点的增多也会增加运算复杂度。一般而言 采样点的个数选择为滤波器长度的 采样点的个数丁远大于滤波器的长度它们的离散傅里叶变换可表示为篡淞搿 啦满足线性关系。令向量定义为 其中的元素为误差函数 的采样值的实部和虚部。我们通过最小化 或呦模来达到最佳的近似质量。请注意这个目标函数是误差函数的近似 因为在近似后优化问题的目标函数中只存在线性项 从而使优化过程在 的时候更快。优化方法在上一节中我们已经导出了办 和助分别需要满足的条件和设计近似希尔伯特变换对的目标函数。在这一节里 我们提出了一种基于优化的近似希尔伯特小波对的设计算法如下 中含有双线性项。如果我们想最小化式的如模。优化问题 中定义。如果矿优化问题变为 其中表示左边的每个元素都小于或等于右边 是一个全 的向量 所定义。如果我们可以将式 其中表示左边的每个元素都小于或等于右边 是一个全 的向量 中含有双线性项这些优化问题被称为双线性优化问题。这种优化问题是非凸的 无法使用传统的局部最优优化算法来得到全局最优解。在这里 我们将将给出一种基于分支定界方法的全局最优算法。双线性规划问题是一种目标函数或者约束中含有双线性项的优化问题。这种优化问题的解法已经在优化领域中得到了广泛研究。但是 现有的优化算法要求双线性优化问题是分离的【 或者不保证收敛到全局最优解 。为了对式 中的双线性规划求得全局最优解我们改进了文献【 】中的分支定界方法来解决我们问题。本文中使用的优化算法和文献【 】中的算法的最大的不同是本文中的算法 解空间的大部分点都不满足约束条件 因此 在本文的分支定界算法中 我们使用了与文献 不同的上界。关于分支定界算法的详细的介绍 读者可以参考文献【 】。分支定界算法是一种对整个解空间的一种智能的搜索算法。它包含了两个部分。第一个部分是定界 也就是对给定问题在一个区域内找到上界和下界。另一个部分是分枝 也就是决定应该将哪个区域分成两个部分分别处理来达到更好的界。通过迭代的更新优化问题的全局上界和下界 当上界和下界相差小于 我们就找到了全局的最优解。如果 很小 那么我们可以认为得到的解是全局最优的【 】。由于分支定界算法的搜索受到上界和下界的约束 这种算法比全局搜索要快的多。式 在某一个区域内的上界可以通过在这个区域内以一个随机选取的点做局部非线性优化得到。但是有可能这个选取的初始点不存在局部最优解 或者这个初始点不满足约束条件。如果这样 我们可以选择这个区域内的另外一个点作为初始点进行优化。如果连续 次优化的初始点都不可优

本文链接:http://chondriac.com/feilingzhi/785.html